Question

Tứ giác abcd có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Cho biết EG = FH. Chứng minh rằng AC ⊥ với BD

mình cần ngay nha

 

Answer 1

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC
Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: GF//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra HE//GF và HE=GF

Xét ΔBAC có 

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: EF//AC

Xét tứ giác EHGF có 

EH//GF

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

mà EG=HF

nên EHGF là hình chữ nhật

Suy ra: \(\widehat{HEF}=90^0\)

⇒HE⊥FE

⇔HE⊥AC

⇔BD⊥AC