Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R), vẽ hai tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (với B,C là tiếp điểm). Gọi M là giao điểm của OA và BC
a) Chứng minh M là trung điểm của BC và OAC = OBC
b) Gọi I là trung điểm của BM. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với OI cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp và tam giác ODE cân
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại M và M là trung điểm của BC
Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OAC}\)
b: Xét tứ giác OIEC có \(\widehat{OIE}+\widehat{OCE}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OEI}=\widehat{OCI}\)
Xét tứ giác OIBD có \(\widehat{OID}=\widehat{OBD}=90^0\)
nên OIBD là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ODI}=\widehat{OBI}\)
mà \(\widehat{OEI}=\widehat{OCI}\)
và \(\widehat{OBI}=\widehat{OCI}\)(ΔOBC cân tại O)
nên \(\widehat{ODE}=\widehat{OED}\)
=>ΔOED cân tại O
