Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường
tròn với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:\(\widehat{EDF}+\widehat{BOC}=180do\)
Trên mặt phẳng, cho đoạn thẳng BC=2a(a>0), lấy 1 điểm A bất kì sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD,BR,CF cắt nhau tại H (D,E,F lần lượt nắm trên các cạnh BC, CA, AB). Trên các đoạn HB, HC lần lượt lấy M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{BNA}=90^o\)
a) chứng minh tam giác AMN cân
b) tìm GTLN của BN.CM theo a
Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, AB theo thứ tự ở D,E, F. Cho biết \(\widehat{BAC}=\widehat{EDF}\). Chứng minh rằng: \(_{\widehat{BAC}=60^o}\)
Cho tam giác ABC vuông tại C, biết \(\widehat{BAC}=\alpha\), \(AB=a\). Lấy 1 điểm D nằm bên trong tam giác ABC sao cho CD vuông góc với BD và \(\widehat{ACD}=\widehat{DBA}\). Gọi E là giao điểm của AB và CD.
a) Tính độ dài đoạn AE theo \(a,\alpha\).
b) gọi F là giao điểm của DB và AC, Chứng minh: \(FC^2=FD.FB\)
Cho \(\Delta ABC\) nhọn. Trên AC lấy điểm D sao cho \(\widehat{CBD}=\widehat{CAB}\), trên BC lấy điểm E sao cho \(\widehat{BAE}=\widehat{ACB}\), trên AB lấy điểm F sao cho \(\widehat{ACF}=\widehat{ABC}\). Chứng minh rằng \(AF+BE+CD\ge C_{ABC}\)(với \(C_{ABC}\)là chu vi tam giác ABC)
Cho hình thang cân ABCD (BC//AD), hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại điểm O sao cho \widehat{BOC} = 60 độ. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,AB,CD.a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp đượcb) Chứng minh tam giác MNQ là tam giác đềuc) So sánh các góc \widehat{MQP}, \widehat{QND}, \widehat{NMC} d) Chứng minh trực tâm của tam giác MNQ thẳng hàng với O, I
trong tam giác ABC có \(\widehat{B}=3\widehat{A}\). lấy 2 điểm M,N trên AC sao cho \(\widehat{CBM}=\widehat{MBN}=\widehat{NBA}\). lấy E thuộc BC, F là giao điểm của AE với BN, K là giao điểm của NE với BM. chứng minh rằng FK song song với AC.
Cho các điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC cân tại A sao cho MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của CP và BN. Chứng minh \(\widehat{OMP}=\widehat{AMN}\)