Question

Trong một tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ 1:3. Đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh đó theo tỉ số nào?

Answer 1

Dễ ẹt;

Giả sử \(\Delta\)ABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

Vì BI // AC nên \(\left(\frac{BI}{AC}\right)=\left(\frac{BD}{DC}\right)=\left(\frac{BD}{3BD}\right)=\frac{1}{3}\) (định lí Ta lét)

mà BI=AB nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

Cm \(\Delta\)AHC đồng dạng \(\Delta\)BHA(g.g) nên \(\frac{BH}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

nên \(BH=\frac{1}{3}AH\);\(HC=3AH\)nên \(\frac{BH}{HC}=\frac{1}{9}\)

Answer 2

Giả sử 

Δ

ΔABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

 

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

 

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

 

Vì BI // AC nên 

(

B

I

A

C

)

=

(

B

D

D

C

)

=

(

B

D

3

B

D

)

=

1

3

( 

AC

BI

​

 )=( 

DC

BD

​

 )=( 

3BD

BD

​

 )= 

3

1

​

  (định lí Ta lét)

 

mà BI=AB nên 

A

B

A

C

=

1

3

AC

AB

​

 = 

3

1

​

 

 

Cm 

Δ

ΔAHC đồng dạng 

Δ

ΔBHA(g.g) nên 

B

H

H

A

=

H

A

H

C

=

A

B

A

C

=

1

3

HA

BH

​

 = 

HC

HA

​

 = 

AC

AB

​

 = 

3

1

​

 

 

nên 

B

H

=

1

3

A

H

BH= 

3

1

​

 AH;

H

C

=

3

A

H

HC=3AHnên 

B

H

H

C

=

1

9

HC

BH

​

 = 

9

1

​