Đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\) có tâm \(I\left(1;1\right)\) và bán kính \(R=5\)
\(\overrightarrow{IA}=\left(6;8\right)\Rightarrow IA=10=2R\)=> Đường tròn (C) chia đôi IA tại C
Gọi D là trung điểm IC, ta có: \(\frac{ID}{IM}=\frac{1}{2}=\frac{IM}{IA}\)=> \(\Delta\)IDM ~ \(\Delta\)IMA (c.g.c), từ đây MA=2MD
Suy ra \(P=2\left(MD+MB\right)\ge2BD\)(không đổi)
Dấu "=" xảy ra khi M thuộc đoạn BD hay M là giao điểm của đoạn BD với (C)
*) Tìm M:
Ta có: C là trung điểm IA => \(C\left(4;5\right)\), D là trung điểm IC => \(D\left(\frac{5}{2};3\right)\)
\(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{5}{2};-5\right)\Rightarrow BD:\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}t\\y=8-5t\end{cases}}\); vì M thuộc BD nên \(M\left(\frac{5}{2}t;8-5t\right)\)
\(\overrightarrow{IM}=\left(\frac{5}{2}t-1;7-5t\right)\Rightarrow IM^2=\left(\frac{5}{2}t-1\right)^2+\left(7-5t\right)^2=R^2=25\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=2\\t=\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M\left(5;-2\right)\\M\left(1;6\right)\end{cases}}\)
Nếu \(M\left(5;-2\right)\)thì \(\overrightarrow{MB}=\left(-5;10\right);\overrightarrow{MD}=\left(-\frac{5}{2};5\right)\Rightarrow\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\)=> M nằm ngoài đoạn BD (L)
Vậy \(M\left(1;6\right)\).
