Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2 y − z + 3 = 0  và điểm A 2 ; 0 ; 0 .

Mặt phẳng α  đi qua A, vuông góc với P , cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 4 3  và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C khác O. Thể tích khối tứ diện OABC bằng

A. 8

B. 16

C.  8 3 .

D.  16 3 .

Answer 1

Đáp án C.

Phương pháp: 

- Viết phương trình mặt phẳng α .  

- Tìm tọa độ giao điểm B, C của  α với trục Oy, Oz.

- Tính thể tích khối tứ diện vuông OABC: V = 1 6 . O A . O B . O C .  

Cách giải:

Giả sử n → a ; b ; c ,   a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0  là một vecto pháp tuyến của (P).

Vì α đi qua A 2 ; 0 ; 0 nên PTTQ của (P):

a x − 2 + b y − 0 + c z − 0 = 0  

⇔ a x + b y + c z − 2 a = 0.  

Vì α  vuông góc với α nên n → a ; b ; c  vuông góc với n 1 → 0 ; 2 ; − 1 .  

Khi đó,

0. a + 2. b + − 1 . c = 0 ⇔ c = 2 b  

⇒ α : a x + b y + 2 b z − 2 a = 0  

d O ; α = 4 3 ⇔ − 2 a a 2 + b 2 + 4 b 2 = 4 3 ⇔ 6 a 2 = 16 a 2 + 5 b 2 ⇔ a 2 = 4 b 2 ⇔ a = 2 b a = − 2 b  

Cho

b = 1 ⇒ a = 2 a = − 2 ⇒ n → 2 ; 1 ; 2 n → − 2 ; 1 ; 2 ⇒ α : 2 x + y + 2 z − 4 = 0 α : − 2 x + y + 2 z + 4 = 0  

+ )   α : 2 x + y + 2 z − 4 = 0 ⇒ B 0 ; 4 ; 0 ,   C 0 ; 0 ; 2 ⇒ V O A B C = 1 6 . 2 . 4 . 2 = 8 3  

+ )   α : − 2 x + y + 2 z + 4 = 0 ⇒ B 0 ; − 4 ; 0 ,   C 0 ; 0 ; − 2 ⇒ V O A B C = 1 6 . 2 . − 4 . − 2 = 8 3  

Vậy thể tích khối tứ diện OABC là 8 3 .