Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có A x 0 ; 0 ; 0 , B − x 0 ; 0 ; 0 , C 0 ; 1 ; 0  và B ' − x 0 ; 0 ; y 0 , trong đó x 0 ; y 0  là các số thực dương và thỏa mãn x 0 + y 0 = 4 . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

A. R = 17

B. R = 29 4

C. R = 17

D. R = 29 2

Answer 1

Đáp án D.

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra  O 0 ; 0 ; 0   .

Ta có A B → = − 2 x 0 ; 0 ; 0 , O C → = 0 ; 1 ; 0 ⇒ A B → . O C → = 0 ⇒ A B ⊥ O C .

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên. Với A x 0 ; 0 ; 0 , B − x 0 ; 0 ; 0 , C 0 ; 1 ; 0 , B ' − x 0 ; 0 ; 4 − x 0 , A ' x 0 ; 0 ; 4 − x 0 , C ' 0 ; 1 ; 4 − x 0  do   x 0 + y 0 = 4 và 0 < x 0 , y 0 < 4 .

 Có  A C ' → = − x 0 ; 1 ; 4 − x 0 , B ' C → = x 0 ; 1 ; x 0 − 4 ⇒ A C ' → , B ' C → = 2 x 0 − 8 ; 0 ; − 2 x 0

A C → = − x 0 ; 1 ; 0 ⇒ A C ' → , B ' C → . A C → = − x 0 2 x 0 − 8 = − 2 x 0 x 0 − 4

⇒ d A C ' ; B ' C = A C ' → , B ' C → . A C → A C ' → , B ' C → = 2 x 0 x 0 − 4 4 4 − x 0 2 + 4 x 0 2 = x 0 4 − x 0 4 − x 0 2 + x 0 2

 do x 0 ∈ 0 ; 4 .

Với  0 < x 0 < 4   , ta có 4 − x 0 2 + x 0 2 ≥ A M − G M 2 4 − x 0 2 x 0 2 = 2 x 0 4 − x 0 .

Như vậy d A C ' ; B ' C = x 0 4 − x 0 4 − x 0 2 + x 0 2 ≤ x 0 4 − x 0 2 x 0 4 − x 0 = 1 2 .

Dấu “=” xảy ra khi  x 0 = 4 − x 0 ⇔ x 0 = 2 = y 0   .

Khi đó A 2 ; 0 ; 0 , B − 2 ; 0 ; 0 , C 0 ; 1 ; 0 , B ' − 2 ; 0 ; 2 . Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ A B C . A ' B ' C '  là .

Ta có hệ phương trình sau:

  2 2 + 0 2 + 0 2 − 2 a .2 − 2 b .0 − 2 c .0 + d = 0 − 2 2 + 0 2 + 0 2 − 2 a − 2 − 2 b .0 − 2 c .0 + d = 0 0 2 + 1 2 + 0 2 − 2 a .0 − 2 b .1 − 2 c .0 + d = 0 − 2 2 + 0 2 + 2 2 − 2 a − 2 − 2 b .0 − 2 c .2 + d = 0 ⇔ 4 a − d = 4 4 a + d = − 4 2 b − d = 1 4 a − 4 c + d = − 8 ⇔ a = 0 b = − 3 2 c = 1 d = − 4

Vậy mặt cầu (S) có tâm I 0 ; − 3 2 ; 1  và bán kính 

R = a 2 + b 2 + c 2 − d = 29 2