Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1 ; 2 ; − 3 và mặt phẳng P : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u → = 3 ; 4 − 4 cắt P tại điểm B. Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 0 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. J − 3 ; 2 ; 7
B. K 3 ; 0 ; 15
C. H − 2 ; − 1 ; 3
D. I − 1 ; − 2 ; 3
Đáp án D
Phương trình đường thẳng
d : x − 1 3 − = y − 2 4 = z + 3 − 4 .
Vì
B ∈ d ⇒ B 3 b + 1 ; 4 b + 2 ; − 4 b − 3
Mà B = d ∩ P suy ra
2 3 b + 1 + 2 4 b + 2 + 4 b + 3 + 9 = 0 ⇔ b = − 1 ⇒ B − 2 ; − 2 ; 1
Gọi A’là hình chiếu của A trên
P ⇒ A A ' : x − 1 2 = y − 2 2 = z + 3 − 1 ⇒ A ' − 3 ; − 2 ; − 1
Theo bài ra, ta có
M A 2 + M B 2 = A B 2 ⇔ M B 2 = A B 2 − M A 2 ≤ A B 2 − A A ' 2 = A ' B 2
Độ dài MB lớn nhất khi
M ≡ A ' ⇒ M B : x = − 2 + t y = − 2 z = 1 + 2 t ⇒ I − 1 ; − 2 ; 3 ∈ M B
