Tham khảo :Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 100 m2, hình nào có chu vi nhỏ nhất? | VietJack.com
Tham khảo nha:Đ
Gọi độ dài của chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a và b. (Điều kiện: a, b> 0)
Bài toán được diễn đạt lại là: "Cho a, b, < 0 và a.b = 100. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a(a + b)"
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương a và b, ta thu được chu vi nhỏ nhất bằng 40cm khi a = b = 10cm hay hình chữ nhật trở thành hình vuông
gọi độ dài các cạnh hình chữ nhật =x và y thì Shcn= xy=\(a^2\)và chu vi = 2(x+y)
ta có :
\(\left(x+y\right)^2=\left(x-y\right)^2+4xy\)
\(\left(x+y\right)^2=\left(x-y\right)^2+4a^2\ge4a^2\)
chứng tỏ gtnn của \(\left(x+y\right)^2\)là \(4a^2\) khi x-y =0=>x=y
nghĩa là :
trong tất cả các hình chữ nhật có S =\(a^2\) thì hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất và cạnh hình vuông =a ( vì S = \(a^2\))
Mời bạn tham khảo sau khi mình đi hỏi hết người này đến người nọ:"))
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật đó lần lượt là \(x,y(cm)(x,y>0)\)
Diện tích của hình chữ nhật đó là \(100cm^2\) nên ta có :
\(x.y=100cm^2\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(x+y ≥2\sqrt{xy} \)
\(\Rightarrow x+y≥2\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow x+y≥2.10\)
\(\Rightarrow x+y≥20\)
Suy ra chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật đó là :
\(2.(x+y)≥2.20=40\)
Vậy chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhât có diện tích bằng `100cm^2` là `40cm`
cách 2 nha :
gọi x;y là là kích thước của hình chữ nhật thì x.y=100(x;y>0)
ta có :
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
hay \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge400\Leftrightarrow x+y\ge20\)
do đó chu vi hcn không bé hơn 40(cm)
vậy Shcn nhỏ nhất là 40cm khi x=y hay hình đó là hình vuông
