Question

Tính S:\(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+..+\frac{1}{1+2+3+...+99}\)

 

Answer 1

Đáp án

Bài giải qua 3 bước như sau:

Bước 1: Xét mẫu số của số hạng tổng quát trong tổng trên:

      S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n                     ( * )

      Khi viết S theo thứ tự ngược lại la có:

      S = n + (n - 1) + ... + 2 + 1                     ( ** )

     Cộng vế với vế của ( * ) và ( ** ) ta có:

     S + S = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + ... + [(n - 1) + 2] + [n + 1]

     2 . S = [n + 1]   + [n + 1] +   . . .    + [n + 1]       + [n + 1]     (Tổng có n số hạng [n + 1] )

     2 . S = n.(n + 1)

  => S = n.(n + 1)/2

  => Số hạng tổng quát của tổng đã cho là:

     

Bước 2: Ta có nhận xét:

    

  =>                       ( *** )

Bước 3:  Thay n = 1, 2, ... vào ( *** ) ta được các đẳng thức tương ứng:

     

     

     

     .   .   .   

Cộng các vế với nhau ta được:

        

  

  

  

Vậy tổng đã cho có kết quả bằng 2.

Answer 2

S=1/1+2 +1/1+2+3 +1/1+2+3+4 +...+1/ 1+2+3+..+99

=1/2(1+2):2 +1/3(1+3):2 +1/4(1+4):2 +...+ 1/99(1+99):2

=2/2.3+2/3.4+2/4.5+...+2/99.100

=2(1/2.3+1/3.4+1/4.5+...+1/99.100)

=2(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/99-1/100)

=2(1/2-1/100)

=2.49/100=49/50