a) Ta có: \(\widehat{OCM}=\widehat{OMA}\) (cùng phụ \(\widehat{CMA}\))
và: \(\widehat{ODM}=\widehat{OMB}\) (cùng phụ \(\widehat{DMB}\))
mà: \(\widehat{AMB}=\widehat{OMA}+\widehat{OMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{OCM}+\widehat{ODM}=90^o\)
Xét \(\Delta OCD\),ta có:
\(\widehat{COD}+\widehat{OCM}+\widehat{ODM}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{COD}+90^o=180^o\\ \Rightarrow\widehat{COD}=90^o\)
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}CA=CM\\DB=DM\end{matrix}\right.\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Delta OCD\) vuông tại O \(\left(\widehat{COD}=90^o\right)\) và có OM là đường cao (CM là tiếp tuyến của (O) )
\(\Rightarrow CM.DM=OM^2=R^2\\ \Rightarrow CA.DB=R^2\\ \Rightarrow AC.BD=R^2\)
Vì CM,CA là tiếp tuyến nên OC là phân giác góc MOA
\(\Rightarrow\angle MOC=\dfrac{1}{2}\angle MOA\)
Vì DM,DB là tiếp tuyến nên OD là phân giác góc MOB
\(\Rightarrow\angle MOD=\dfrac{1}{2}\angle MOB\)
\(\Rightarrow\angle MOC+\angle MOD=\dfrac{1}{2}\left(\angle MOA+\angle MOB\right)\Rightarrow\angle COD=\dfrac{1}{2}\angle AOB=90\)
b) Vì CM,CA là tiếp tuyến \(\Rightarrow CM=CA\)
Vì DM,DB là tiếp tuyến \(\Rightarrow DM=DB\)
tam giác COD vuông tại O có đường cao OM nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow OM^2=CM.MD=AC.BD\Rightarrow AC.BD=R^2\)
