ta có:\(\sqrt{45+27\sqrt{2}}\) +\(\sqrt{45-27\sqrt{2}}\) =3(\(\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}\))
phân thức cần biến đổi trở thành:\(\dfrac{\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}\).3
=\(\dfrac{10+2\sqrt{7}}{6\sqrt{2}}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}\)
lấy phân số vừa tìm được cộng cho \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\) ta được giá trị biểu thức cần tìm là \(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{45+27\sqrt{2}}+\sqrt{45-27\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5+3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{9\left(5+3\sqrt{2}\right)}+\sqrt{9\left(5-3\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=3-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{6-\sqrt{14}}{2}\).
