Question

tìm xy thuộc n tm: 3^x-2^y=1

 

Answer 1

Lời giải:

$3^x-2^y=1$

Nếu $y=0$ thì $3^x=1+2^y=1+1=2$ (loại) 

Nếu $y=1$ thì $3^x=1+2^y=3\Rightarrow x=1$ 

Nếu $y\geq 2$:

$3^x-1=2^y\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow (-1)^x-1\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow x$ chẵn.

Đặt $x=2k$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$2^y=3^{2k}-1=(3^k-1)(3^k+1)$

$\Rightarrow$ tồn tại $m,n\in\mathbb{N},m< n, m+n=y$$ sao cho:

$3^k-1=2^m, 3^k+1=2^n$ 

$\Rightarrow 2=2^n-2^m=2^m(2^{n-m}-1)$

Do $m< n$ nên $n-m\geq 1\Rightarrow 2^{n-m}$ chẵn.

$\Rightarrow 2^{n-m}-1$ lẻ. Mà $2^{n-m}-1$ là ước của 2 nên $2^{n-m}-1=1$

$\Rightarrow 2^m=2; n-m=1$

$\Rightarrow m=1; n=2$

$\Rightarrow y=m+n=3$. $3^k-1=2^m=2\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow x=2k=2$

Vậy $(x,y)=(1,1), (2,3)$

Answer 2

chihcc: Vì $3\equiv -1\pmod 4$

$\Rightarrow 3^x-1\equiv (-1)^x-1\pmod 4$

Mà $3^x-1=2^y\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow (-1)^x-1\equiv 0\pmod 4$

Bạn hiểu chưa nhỉ?