Lời giải:
$x^2-x^2y-y+8x+7=0$
$\Leftrightarrow x^2+8x+7=y(x^2+1)$
$\Leftrightarrow y=\frac{x^2+8x+7}{x^2+1}$
$\Leftrightarrow y=\frac{(x^2+1)+8x+6}{x^2+1}=1+\frac{8x+6}{x^2+1}$
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
$x^2+\frac{1}{4}\geq |x|\geq x$
$\Rightarrow x^2+1\geq x+\frac{3}{4}=\frac{4x+3}{4}$
$\Rightarrow \frac{8x+6}{x^2+1}\leq \frac{2(4x+3)}{\frac{4x+3}{4}}=8$
$\Rightarrow y\leq 1+8=9$
Vậy $y_{\max}=9$
$x^2=\frac{1}{4}$; $x\geq 0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
pt\(\Leftrightarrow x^2\left(1-y\right)+8x+7-y=0\) (1)
Ta có :\(\Delta\)(x)=\(-y^2+8y+9\)(do làm biếng nên làm ra denta luôn)
Để tồn tại MAX y thì PT (1) có ngiệm nên \(\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow-y^2+8y+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow-y^2-y+9y+9\ge0\Leftrightarrow-y\left(y+1\right)+9\left(y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(9-y\right)\ge0\)
Giải BPT ta được : \(-1\le y\le9\)
\(\Rightarrow\) Max y =9. Thay y=9 vào (1)\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy Max y=9\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
