Question

tìm x nguyên để \(\dfrac{2-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) nguyên

Answer 1

Lời giải:
\(\frac{2-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{11-3(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3}=\frac{11}{\sqrt{x}+3}-3\)

Để biểu thức đã cho nguyên thì $\frac{11}{\sqrt{x}+3}$ nguyên

Đặt $\frac{11}{\sqrt{x}+3}=t$ thì hiển nhiên $t>0$ do cả tử và mẫu đều dương.

Mà: $\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow t=\frac{11}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{11}{3}<4$

$\Rightarrow 0< t< 4$. Mà $t$ nguyên nên $t\in \left\{1; 2; 3\right\}$

$\sqrt{x}=\frac{11}{t}-3$. Để $x$ nguyên thì $t$ là ước của $11$

$\Rightarrow t=1$

$\sqrt{x}=\frac{11}{1}-3=8\Leftrightarrow x=64$