Question

Tìm x biết: \(x+6\sqrt{x+8}+4\sqrt{6-2x}=27\)

Answer 1

Ta có :\(x+6\sqrt{x+8}+4\sqrt{6-2x}=27\Leftrightarrow6\sqrt{x+8}+4\sqrt{6-2x}=27-x\) ( Điều kiện :-8 <= x <= 3 ) 

Mà VT = \(6\sqrt{x+8}+4\sqrt{6-2x}=2\sqrt{9.\left(x+8\right)}+2\sqrt{4.\left(6-2x\right)}\)
Áp dụng cauchy :
\(2\sqrt{9.\left(x+8\right)}\le9+\left(x+8\right)\) 
\(2\sqrt{4.\left(6-2x\right)}\le4+\left(6-2x\right)\)

=> \(VT=2\sqrt{9.\left(x+8\right)}+2\sqrt{4.\left(6-2x\right)}\le9+x+8+4+6-2x\le27-2x\)

=> \(VT\le VP\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}9=x+8\\4=6-2x\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\left(tm\right)}\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1