Question

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: \(\left(x-2\right)^4-x^4=y^3\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow-8x^3+24x^2-32x+16=y^3\)

\(\Leftrightarrow-8\left(x-1\right)\left(x^2-2x+2\right)=y^3\)

\(\Leftrightarrow-8\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^2+1\right]=y^3\)

Đặt \(x-1=z\)

\(\Rightarrow-8z\left(z^2+1\right)=y^3\)

Nhận xét: ta thấy \(\left(z_0;y_0\right)\) là 1 nghiệm thì \(\left(-z_0;-y_0\right)\) cũng là 1 nghiệm

\(\Rightarrow\)Chỉ cần giải với \(z\ge0\)

Do \(-8=\left(-2\right)^3\Rightarrow z\left(z^2+1\right)\) là lập phương của 1 số tự nhiên

\(\Rightarrow z^3+z\) là lập phương của 1 SNT

Mà \(z^3\le z^3+z< \left(z+1\right)^3\)

\(\Rightarrow z^3+z=z^3\Rightarrow z=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=1\)