Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 m x 2 + 3 m 2  có hai điểm cực trị A, B mà Δ O A B  có diện tích bằng 24 (O là gốc tọa độ)

A. m = 2

B. m = ± 1

C. m = ± 2

D. m = 1

Answer 1

Đáp án C

Đạo hàm

y ' = 3 x 2 − 6 m x = 3 x x − 2 m ;     y ' = 0 ⇔ x = 0 x = 2 m

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B <=> Phương trình y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt  x 1 , x 2 ⇔ 2 m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0   .

Giả sử A 0 ; 3 m 2  và B 2 m ; 3 m 2 − 4 m 3 . Phương trình đường thẳng AB là:

x − 0 2 m − 0 = y − 3 m 2 3 m 2 − 4 m 3 − 3 m 2 ⇔ x = y − 3 m 2 − 2 m 2 ⇔ 2 m 2 x + y − 3 m 2 = 0

Lại có

A B = 2 m − 0 2 + 3 m 2 − 4 m 3 − 3 m 2 2 = 4 m 2 + 16 m 6 = 2 m 1 + 4 m 4

Suy ra

S Δ O A B = 1 2 A B . d O ; A B = 1 2 . 2 m . 1 + 4 m 4 . − 3 m 2 4 m 4 + 1 = 3 m . m 2

(đvdt).

Yêu cầu bài toán ⇔ S Δ O A B = 24 ⇔ 3 m 3 = 24 ⇔ m = 2 ⇔ m = ± 2  (thỏa mãn).