Question

tìm tất cả các giá trị nguyên dương của x;y thỏa mãn

\(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}=2+2y-y^2\)

Answer 1

\(VP=3-\left(y^2-2y+1\right)=3-\left(y-1\right)^2\le3\)(Dấu "=" xảy ra khi \(y=1\)

Nhìn đề bài ta đoán dạng bất đẳng thức, có \(VP\le3\), giờ ta chứng minh \(VT\ge3\)

Thật vậy, ta có

 \(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}-3=\frac{4x^2-4x+7-3\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{x^2-4x+4}{x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\ge0\)

Do đó; \(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\)(dấu "=" xảy ra khi \(x=2\))

\(\Rightarrow\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\ge2+2y-y^2\)

\(VT=VP\Leftrightarrow VT=3;VP=3\)

\(\Leftrightarrow x=3;y=1\)