Question

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn PT: \(x^4+y^3=xy^3+1\)

 

Answer 1

\(PT\Leftrightarrow x^4+y^3-xy^3-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-1\right)+\left(y^3-xy^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1\right)-y^3\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1-y^3\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^3+x^2+x+1=y^3\end{cases}}\)

TH1 : \(x=1\Rightarrow y\in Z\)

TH2 : \(x^3+x^2+x+1=y^3\)

Ta có : \(x^3< x^3+x^2+x+1< x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow x^3< x^3+x^2+x+1< \left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1\notin Z\) hay \(y\notin Z\) (loại)

Vậy \(x=1\) và \(y\in Z\)