Question

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho m^2 + 1 = 2^n

Answer 1

Với \(m\)chẵn: \(m^2+1=\left(2k\right)^2+1=4k^2+1\)

Với \(m\)lẻ: \(m^2+1=\left(2k+1\right)^2+1=4k^2+4k+1+1=4k^2+4k+2\)

Do đó \(m^2+1\)chia cho \(4\)dư \(1\)hoặc \(2\).

Mà với \(n\ge2\)thì \(2^n⋮4\)do đó mâu thuẫn. 

Vậy \(n=0\)hoặc \(n=1\).

Thử với từng giá trị ta thu được nghiệm là \(\left(0,0\right),\left(\pm1,1\right)\).