Question

Tìm số tự nhiên n sao cho số A=\(n^2+n+6\) là số chính phương

Answer 1

\(A=n^2+n+6\)là số chính phương thì \(4A=4n^2+4n+24\)cũng là số chính phương. Giả sử 4A = p² (p thuộc N)

\(\Rightarrow4n^2+4n+1+23=p^2\Rightarrow\left(2n+1\right)^2+23=p^2\Rightarrow p^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Rightarrow\left(p+2n+1\right)\left(p-2n-1\right)=23\times1\)(2)

Với n ; p là số tự nhiên thì p+2n+1 là số lớn; p-2n-1 là số bé. Do đó:

(2) => \(\hept{\begin{cases}p+2n+1=23\\p-\left(2n+1\right)=1\end{cases}\Rightarrow2n+1=11\Rightarrow}n=5\)

Vậy với n = 5 thì A = n² + n + 6 là số chính phương.