Question

Tìm số tự nhiên n để n^5+1 chia hết cho n^3+1

Answer 1

ta có 

\(n^5+1=n^5+n^2-n^2+1=n^2\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho \(n^3+1\)

Khi \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho \(n^3+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)

mà \(n^2-n+1>n-1\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)< n^3+1\)\(\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n^3+1=1\\n^2-1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=1\end{cases}}\)