Ta có \(P=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Dễ thấy nếu \(5|n\), \(n\equiv1\left[5\right]\) hay \(n\equiv4\left[5\right]\) thì \(P⋮5\). Còn nếu \(n\equiv2\left[5\right]\) hay \(n\equiv3\left[5\right]\) thì \(n^2+1⋮5\Rightarrow P⋮5\). Vậy \(P=n^5-n⋮5,\) với mọi số tự nhiên \(n\). Suy ra \(D=P+2\equiv2\left[5\right]\)
Mà một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4 (chứng minh điều này rất dễ, bạn chỉ cần xét lần lượt \(n\equiv0,1,2,3,4\left[5\right]\) rồi đặt \(n=5k+i\left(0\le i\le4\right)\) rồi khai triển \(\left(5k+i\right)^2=25k+10ki+i^2\equiv i^2\left[5\right]\) là xong).
Suy ra D không thể là số chính phương, nghĩa là không tồn tại n để D là số chính phương.
