Question

Tìm số nguyên tố p để A = p^4 + p^3 + p^2 + p + 1 là số chính phương

Answer 1

Áp dụng Nguyên lí kẹp

\(\left(2p^2+p\right)^2< 4A< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

Answer 2

đặt: p⁴ + p³ + p² + p + 1 = n²

theo đề bài, ta có:

\(4n^2\ge4p^4+4p^3+4p^2+4p+4\ge4p^4+4p^3+p^2=\left(2p^2+p\right)^2\) (1)

\(4n^2\le4p^4+4p^3+4p^2+4p+4+5p^2=\left(2p^2+p+2\right)^2\)(2)

từ (1) và (2) => \(4n^2=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

 \(\Rightarrow2n=2p^2+p+1\)

bình phương hai vế của đẳng thức này và so sánh với n², ta có:

\(p^2-2p-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p-3\right)=0\)

p là số nguyên tố nên phương trình trên có nghiệm p = 3 thỏa mãn. 

=> p = 3.