Đặt \(2^x+3^y=k^2\left(k\ge2;k\inℕ\right)\)
Nếu x là số lẻ thì ta có \(2^x\equiv2\left(mod3\right);k^2\equiv0;1\left(mod3\right)\Rightarrow y=0\)
Khi đó \(2^x+1=k^2\Rightarrow2^x=k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow k-1=2;k+1=2^{x-1}\)
\(\Rightarrow k=3;x=3\)
Nếu m chẵn mình đang bí :(
Đây nhé,tớ làm tiếp nha !
Nếu m là số chẵn đặt \(m=2s\)
Khi đó ta có:\(\left(k-2^s\right)\left(k+2^s\right)=3^n\)
Khi đó tồn tại số nguyên dương a,b sao cho \(k-2^s=3^b;k+2^s=3^a;a+b=n\)
\(\Rightarrow3^a-3^b=\left(k+2^s\right)-\left(k-2^s\right)=2^{s+1}\)
Mà \(2^{s+1}\) không chia hết cho 3 nên b=0;a=n.Khi đó \(3^n-1=2^{s+1}\)
Nếu \(s=0\Rightarrow n=1;m=0\)
Nếu \(s>0\Rightarrow3^n=2^{s+1}+1\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow n\) chẵn
Đặt tiếp \(n=2t;t\inℤ^+\).Khi đó \(\left(3^t-1\right)\left(3^t+1\right)=2^{s+1}\)
Mà \(\left(3^t+1;3^t-1\right)=2\Rightarrow3^t-1=2;3^t+1=2^s\)
Khi đó \(t=1;s=2;n=2;m=4\)
Bạn tự kết luận.
