Tham khảo nhé:
https://diendantoanhoc.net/topic/147769-t%C3%ACm-n-in-n-%C4%91%E1%BB%83-n4n31-l%C3%A0-s%E1%BB%91-ch%C3%ADnh-ph%C6%B0%C6%A1ng/
Giả sử \(n^4+n^3+1\) là số chính phương.
Do \(n\) là số nguyên dương nên \(n^4+n^3+1>n^4=\left(n^2\right)^2\)
Nên \(n^4+n^3+1\) có dạng: \(\left(n^2+k\right)^2=n^4+2kn^2+k^2\) với \(k\in Z^+\)
\(\Rightarrow n^4+n^3+1=n^4+2kn^2+k^2\)
\(\Rightarrow n^3-2kn^2=k^2-1\)
\(\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)=k^2-1\ge0\left(1\right)\)
Mà \(k^2-1⋮n^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k^2=1\\n^2\le k^2-1\end{cases}}\)
Nếu \(k^2=1\Rightarrow k=1\Rightarrow n^2\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=2\)(Thử lại thấy thỏa mãn)
Nếu \(n^2\le k^2-1\Rightarrow k^2>k^2-1\ge n^2\Rightarrow k>n\Rightarrow n-2k< 0\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)< 0\) trái với (1).
Vậy \(n=2\)
