Question

Tìm số nguyên dương n sao cho

C 2 n + 1 1 - 2 . 2 . C 2 n + 1 2 + 3 . 2 . C 2 n + 1 3 - 4 . 2 3 . C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 2 2 n C 2 n + 1 2 n + 1 = 2019

A. 1009

B. 1010

C. 1011

D. 1012

Answer 1

Xét khai triển

1 + x 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 x + C 2 n + 1 2 x 2 + C 2 n + 1 3 x 3 + C 2 n + 1 4 x 4 + . . . + C 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n + 1

Lấy đạo hàm cả hai vế ta được

2 n + 1 x 2 n = C 2 n + 1 1 - 2 x C 2 n + 1 2 + 3 x 2 C 2 n + 1 3 - 4 x 3 . C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 x 2 n C 2 n + 1 2 n + 1

Thay x = -2 vào ta được

2 n + 1 x 2 n = C 2 n + 1 1 + 2 x . 2 . C 2 n + 1 2 + 3 x 2 C 2 n + 1 3 - 4 x 3 C 2 n + 1 4 + . . + 2 n + 1 x 2 n C 2 n + 1 2 n + 1

Kết hợp với giả thiết bài toán ta được:  2 n + 1 = 2019 ⇔ n = 2019

Vậy n = 1009 là giá trị cần tìm

Đáp án A