Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 4
=> n chẵn
=> 3n chẵn
=> 3n+1 lẻ
=> 3n+1 chia 8 dư 1
=> 3n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 8 (1)
Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4
=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5
=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5
- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)
- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)
- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)
=> n chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40
Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương
Vì 3n+1 là số chính phương nên 3n+1=a^2
Vì 2n là số chính phương
=> 2n=b^2
=> n=2*k^2
=> 3n=6*k^2
=> 3n+1=6*k^2 +1
=> 3n+1 là số lẻ
=>a^2 là số lẻ
=> a là số lẻ
=> a=2c+1
=> 3n+1=a^2=(2c+1)^2=4c^2+4c+1=4c(c+1)
=> 3n=4c(c+1)
Chứng minh 4c(c+1) chia hết cho 8
=>3n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 8
=> n=8q (q thuộc N)
Xét q có n=1 nhỏ nhất thỏa mãn.
* Do 2n là số chính phương chẵn nên:
- 2n chia 8 không dư hoặc dư 4.
Xét trường hợp 2n chia 8 không dư => n chia hết cho 4 => n chẵn
Xét trường hợp 2n chia 8 dư 4 => n chia 4 dư 2 => n chia hết cho 2 => n chẵn
- 2n không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8 => n không có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6
Vì n chẵn nên 3n chẵn => 3n + 1 lẻ
* Do 3n + 1 là số chính phương lẻ nên:
- 3n + 1 chia 8 dư 1 => 3n chia hết cho 8 => n chia hết cho 8
- 3n + 1 không có số tận cùng là 3 hoặc 7 => 3n không có số tận cùng là 2 hoặc 6 => n không tận cùng là 2 hoặc 4
* Từ đó, cả hai số 2n và 3n + 1 đều là số chính phương
<=> n chia hết cho 8, n có số tận cùng là 0 hoặc 8, n ∈ N* (từ đề bài)
* Thử n = 8, ta có:
2n = 2 * 8 = 16 (16 là số chính phương)
3n + 1 = 3 * 8 + 1 = 25 (25 là số chính phương)
* Thử n = 80, ta có:
2n = 2 * 80 = 160 (160 không phải là số chính phương)
3n + 1 = 3 * 80 + 1 = 241 (241 không phải là số chính phương)
* Thử n = 88, ta có:
2n = 2 * 88 = 176 (176 không phải là số chính phương)
3n + 1 = 3 * 88 + 1 = 265 (265 không phải là số chính phương)
Ta thấy n = 8 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho cả hai số 2n và 3n + 1 đều là số chính phương.
P/S: Không cần phải thay n = 80 rồi n = 88 đâu, vì n = 8 đã là nhỏ nhất mà thoả mãn điều kiện trên. Cách làm thông thường là chỉ thay n mà thoả mãn điều kiện mà đã chứng minh từ đầu lần lượt cho đến khi cả hai số ấy đều là số chính phương thôi.
Đáp án chính xác mà mình có là:
Đặt \(3n+1=x^2;2n=y^2\)
\(\Rightarrow x^2=6y^2+1\Rightarrow x\) là số lẻ và \(y\) là số chẵn\(\Rightarrow GTNN\) của \(y\) là \(2\) từ đó suy ra \(x=5\) và giải ra được \(n=8\)
