Question

Tìm số hữu tỷ X sao cho X²+X+6 là một số chính phương

 

Answer 1

ĐK : x ∈ Q

Đặt x² + x + 6 = k² ( k ∈ N )

=> 4( x² + x + 6 ) = 4k²

=> 4x² + 4x + 24 = 4k²

=> ( 4x² + 4x + 1 ) + 23 = 4k²

=> ( 2x + 1 )² + 23 = 4k²

=> 4k² - ( 2x + 1 )² - 23 = 0

=> ( 2k )² - ( 2x + 1 )² = 23

=> ( 2k - 2x - 1 )( 2k + 2x + 1 ) = 23

Xét các trường hợp : 

1. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=1\\2k+2x+1=23\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=6\end{cases}}\)( tm )

2. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-1\\2k+2x+1=-23\end{cases}}\Leftrightarrow x=k=-6\)( tm )

3. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=23\\2k+2x+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-6\\k=6\end{cases}}\)( tm )

4. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-23\\2k+2x+1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=-6\end{cases}}\)( tm )

=> x ∈ { 5 ; -6 } thì x² + x + 6 là một số chính phương

Answer 2

mình nhầm ĐK của k ; k ∈ Z nhé :v 

Answer 3

thôi cho mình sửa lại cả bài ._. làm ăn chán quá :v 

x ∈ Q

Đặt x² + x + 6 = k² ( k ∈ N )

=> 4( x² + x + 6 ) = 4k²

=> 4x² + 4x + 24 = 4k²

=> ( 4x² + 4x + 1 ) + 23 = 4k²

=> ( 2x + 1 )² + 23 = 4k²

=> 4k² - ( 2x + 1 )² - 23 = 0

=> ( 2k )² - ( 2x + 1 )² = 23

=> ( 2k - 2x - 1 )( 2k + 2x + 1 ) = 23

Xét các trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=1\\2k+2x+1=23\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=6\end{cases}\left(tm\right)}\)

2. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-1\\2k+2x+1=-23\end{cases}}\Leftrightarrow x=k=-6\left(ktm\right)\)

3. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=23\\2k+2x+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-6\\k=6\end{cases}\left(tm\right)}\)

4. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-23\\2k+2x+1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=-6\end{cases}\left(ktm\right)}\)

=> x ∈ { -6 ; 5 } thì x² + x + 6 là một SCP

Lần đầu làm dạng này nên hơi nhiều thiếu xót :<

Answer 4

Vì \(x^2+x+6\) là 1 số chính phương nên đặt:

\(x^2+x+6=a^2\left(a\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+23=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4a^2=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=-23=1.\left(-23\right)=\left(-1\right).23\)

Ta xét các TH sau:

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=1\\2x+1+2a=-23\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=-22\Rightarrow x=-6\Rightarrow a=-6\)(thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-23\\2x+1+2a=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=-22\Rightarrow x=-6\Rightarrow a=6\) (thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-1\\2x+1+2a=23\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=22\Rightarrow x=5\Rightarrow a=6\) (thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=23\\2x+1+2a=-1\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=22\Rightarrow x=5\Rightarrow a=-6\) (thỏa mãn)

Vậy \(x\in\left\{5;-6\right\}\)