Lần lượt thử n=1,2,3,4 ; ta được số dư của 5n lần lượt cho 13 là 5;12;8;1 . đến n=5 ,số dư lặp lại là 5 , n=6, số dư lặp lại là 12...Cứ thế,ta kết luận số dư của 5n cho 13 chỉ có thể là 5;12;8;1.
(*) Xét 5n chia 13 dư 5 thì n sẽ thuộc dãy tăng dần 1,5,9,13,...
khi đó chỉ cần tìm n sao cho n5 chia 13 dư 8
Thử dãy trên thì thấy n=21 thỏa .( thiếu) [Y]
(*) Xét 5n chia 13 dư 12 thì n thuộc dãy tăng dần 2,6,10,14.. (2)
cần tìm n sao cho n5 chia 13 dư 1. hay n5-1 chia hết cho 13
hay \(\left(n-1\right)\left[n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)+1\right]⋮13\)
do đó \(n-1\equiv0\left(mod13\right)\)\(\Leftrightarrow n\equiv1\left(mod13\right)\)
do đó n sẽ có dạng 13k+1.( k thuộc Z) Thử lại thì thấy thỏa dãy (2).
(*) Các TH còn lại chưa làm hoặc làm không đầy đủ như [Y]
