\( {x^2} - 2y\left( {x - y} \right) = 2\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 2{y^2} = 2x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 2{y^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\left( * \right) \)
Do đó \(\left(y-1\right)^2\le4\). Mà \(\left(y-1\right)^2\ge0\)
Nên \(\left[{}\begin{matrix}\left(y-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Xét \(y=1\) từ $(*)$ \(\left(x-2\right)^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\)
Xét \(y=3\) từ $(*)$ có \(\left(x-4\right)^2=0\Leftrightarrow x=4\)
Xét\(y=-1\) từ $(*)$ có \(x^2=0\Leftrightarrow x=0\)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: \(\left(0;1\right),\left(4;1\right),\left(4;3\right),\left(0;-1\right)\)
