Question

Tìm nghiệm nghuyên của phương trình:

\(x^6+3x^2+1=y^3\)

Answer 1

Đặt \(x^2=z\left(z\in Z,z\ge0\right)\). Khi đó pt trên trở thành: \(z^3+3z+1=y^3\)

Ta có: \(z\ge0\Rightarrow3z^2\ge0\)\(\Rightarrow z^3+3z+1\le z^3+3z^2+3z+1=\left(z+1\right)^3\)

Do đó: \(y^3\le\left(z+1\right)^3\)(1)

Ta lại có: \(z\ge0\Rightarrow3x+1>0\Rightarrow y^3=z^3+3z+1>z^3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(z^3< y^3\le\left(z+1\right)^3\). Mà \(y,z\in Z\) nên \(y=z+1\)

Hay \(y=x^2+1\). Thế vào pt ban đầu thì có:

\(x^6+3x^2+1=x^6+3x^4+3x^2+1\Leftrightarrow3x^4=0\Leftrightarrow x=0\)\(\Rightarrow y=1\)

Vậy cặp (x;y) nguyên thỏa mãn pt cho là (x;y)=(0;1)