Question

tìm max, min của f(x,y)=\(\frac{x^2-\left(x-4y\right)^2}{x^2+4y^2}\)với \(x^2+y^2>0\)

Answer 1

\(f\left(x;y\right)=\frac{8xy-16y^2}{x^2+4y^2}\)

\(+y=0:\text{ }f=\frac{-16y^2}{4y^2}=-4\forall y\ne0.\)

\(+y\ne0:\text{ }f=\frac{8.\left(\frac{x}{y}\right)-16}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+4}=\frac{8t-16}{t^2+4}=m\text{ }\left(t=\frac{x}{y}\in R\right)\)

\(\Rightarrow mt^2+4m=8t-16\Leftrightarrow mt^2-8t+4m+16=0\text{ }\left(1\right)\)

\(+m=0\rightarrow pt:-8t+16=0\Leftrightarrow t=2.\)

\(+m\ne0\)

\(\left(1\right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow......\Leftrightarrow m\in......\)

Đối chiếu với các giá trị ở trên để tìm ra min, max.