MTC : \(y^3-z^2y\)
\(\frac{x}{y^2-yz}=\frac{x}{y\left(y-z\right)}=\frac{x\left(y+z\right)}{y\left(y-z\right)\left(y+z\right)}=\frac{xy+xz}{y^3-z^2y}\)
\(\frac{z}{y^2+yz}=\frac{z}{y\left(y+z\right)}=\frac{z\left(y-z\right)}{y\left(y+z\right)\left(y-z\right)}=\frac{yz-z^2}{y^3-z^2y}\)
\(\frac{y}{y^2-z^2}=\frac{y}{\left(y-z\right)\left(y+z\right)}=\frac{y^2}{y^3-z^2y}\)
Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau , quy đồng
\(\frac{5}{2x-4}\); \(\frac{z}{3x-9}\); \(\frac{7}{50-25x}\) .giúp mk nha mk tik cho
Quy đồng mẫu thức
a) \(\frac{x}{y^2-yz}\); \(\frac{z}{y^2+yz}\)và \(\frac{y}{y^2-z^2}\)
b) \(\frac{1}{x^2-5x}\) và \(\frac{-3}{10-2x}\)
Cho ba phân thức:
\(A=\frac{4xy-z^2}{xy+2z^2}\) , \(B=\frac{4yz-x^2}{yz+2x^2}\) , \(C=\frac{4zx-y^2}{zx+2y^2}\)
Trong đó x,y,z đôi một khác nhau. Cmr nếu x+y+z=0 thì A.B.C=1
Giúp mk nha, mk tik cho!!!!!!
Cộng các phân thức đại số sau vào với nhau:
\(\frac{1}{\left(y-z\right)\left(x^2+xz-y^2-yz\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(y^2+xy-z^2-zx\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z^2+yz-x^2-xy\right)}\)
thực hiện tính(phân thức)
\(\frac{x^2-yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2-xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^2-xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\) (y+z nha)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức \(Q=\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\frac{y}{\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}}+\frac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức :
P= \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\)
Rút gọn phân số:
a)\(\frac{9-\left(x+5\right)^2}{x^2+4x+4}\)
b)\(\frac{32x-8x^2+2x^3}{x^3+64}\) . GIÚP MÌNH NHA MK TIK CHO. NHỮNG HS GIỎI TOÁN ĐÂU HẾT RÙI!!!!
Bài toán. Cho \(x,y,z>0,x+y+z\le k\). Chứng minh:
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Nói chung, cách chứng minh bài này không có gì khó, thậm chí có thể nói là rất dễ. Vì:;
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\left(2m\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Vậy, vấn đề ở đây không phải là lời giải, mà là dấu đẳng thức.
Quan sát một chút ta thấy x, y, z là đối xứng nhau và điều kiện là \(x+y+z=1\).
Nên ta đoán \(\hept{\begin{cases}x=y=t\\x+y+z=k\end{cases}}\Rightarrow z=k-2t\left(0\le t\le\frac{k}{2}\right)\) (*)
Ta xét: \(P\left(x,y,z\right)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\)
Chọn t sao cho \(P\left(t,t,k-2t\right)=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Quy đồng lên và phân tích thành nhân tử, nó tương đương với: \(k^2m-4kmt+6mt^2-2kt+3t^2=0\)
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, dễ có: \(t_1=\frac{k\left(1+2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)},t_2=\frac{k\left(-1-2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)}\)
Cần chú ý rằng, tùy vào tham số k, m ở từng bài mà \(-2m^2+m+1,t_1,t_2\) có thể âm hoặc dương nên sau đó ta cần..(Không biết nói sao cho hay hết! Các bạn tự hiểu nha :D)
Với \(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)ta được bài https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Lưu ý. Không phải lúc nào ta cũng may mắn có được như (*), có khi các biến hoàn toàn đối xứng nhưng đẳng thức lại xảy ra hoàn toàn lệch nhau! Chính vì vậy, bài trên dù dấu đẳng thức xấu nhưng ta vẫn "còn may".
Nếu không việc tìm dấu đẳng thức còn mệt hơn nhiều :D
