Question

Tìm m để:

f(x)= (m+1)\(x^2\) +5x + 2 > 0, ∀x∈R

                                    < 0, ∀x∈R

                                   ≥ 0, ∀x∈R

                                   ≤ 0, ∀x∈R

Answer 1

1. Khi \(m=-1\Rightarrow5x+2>0\Rightarrow x>-\dfrac{2}{5}\), suy ra \(f\left(x\right)>0\) không có tập nghiệm là \(R\).

Khi \(m\ne-1,f\left(x\right)>0\forall x\in R\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta=5^2-4\cdot2\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m>\dfrac{17}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(m>\dfrac{17}{8}\)

 

2. Cũng chia ra hai trường hợp khi \(m=-1,m\ne-1\) như trên.

Khi \(m\ne-1,f\left(x\right)< 0\forall x\in R\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\\Delta=5^2-4\cdot2\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>\dfrac{17}{8}\end{matrix}\right.\) (vô lí)

Vậy: \(m\in\varnothing\)

 

3, 4. Làm tương tự như hai ý 1, 2 nhé.

Answer 2

TH1: m=-1

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(-1+1\right)x^2+5x+2\)

=>f(x)=5x+2

=>Khi m=-1 thì f(x)>0 khi x>-2/5; f(x)>=0 khi x>=-2/5; f(x)<0 khi x<-2/5; f(x)<=0 khi x<=-2/5

=>Loại

TH2: \(m\ne-1\)

\(f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2\)

\(\text{Δ}=5^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot2\)

\(=25-8m-8=-8m+17\)

Để f(x)>=0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-8m+17< =0\\m+1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-8m< =-17\\m>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>=\dfrac{17}{8}\)

Để f(x)<=0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-8m+17< =0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=\dfrac{17}{8}\\m< -1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-8m+17< 0\\m+1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{17}{8}\\m>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>\dfrac{17}{8}\)

Để f(x)<0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-8m+17< 0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{17}{8}\\m< -1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)