Ta có :
\(A=\frac{\left(x^2+4x+4\right)-\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x^2+1}-1\ge-1\) có GTNN là - 1 tại x = - 2
\(A=\frac{4x^2+4-4x^2+4x-1}{x^2+1}=4-\frac{\left(2x-1\right)^2}{x^2+1}\le4\) có GNLN là 4 tại x = 1/2
đặt \(A=\frac{4x+3}{x^2+1}=a\)
<=>ax2+a=4x+3
<=>ax2-4x+a-3=0
\(\Rightarrow\Delta=16-4\left(a-3\right)a\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-12a-16\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-3\right)^2-25\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2\right)\left(2a-8\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a+2\ge0\\2a-8\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\ge-1\\a\le4\end{cases}}}\)
Vậy Min A=-1;Max A=4
GTNN Ta có A= (4x+3)/(x^2+1)=( x^2+4x+4-x^2-1)/(x^2+1)= [(x^2+4x+4)-(x^2+1)] /(x^2+1)] = [(x+2)^2-(x^2+1)]/(x^2+1) =[(x+2)^2]/(x^2+1)-1 > -1 do (x+2)^2/(x^2+1) > 0
hay A > -1
Để A có gtnn =1 thì (x+2)^2 / (x^2 +1) =0 => (x+2)^2 =0 => x=-2
Vậy Amin= -1 khi x=-2
\(A=\frac{4x+3}{x^2+1}\Leftrightarrow Ax^2+A=4x+3\)
\(\Leftrightarrow Ax^2-4x+\left(A-3\right)=0\) (1)
Với A = 0 thì \(-4x-3=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}\)
Với A khác 0 thì (1) là pt bậc 2.(1) có nghiệm.
Tức là \(\Delta'=2^2-A\left(A-3\right)\ge0\Leftrightarrow A^2-3A\le4\)
\(\Leftrightarrow A^2-3A-4\le0\Leftrightarrow-1\le A\le4\)
Vậy ..
