\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-13\)
\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-\left(2\cdot3+6\cdot1+1\right)\)
\(K=\left(2x^2+2y^2+2xy-2\cdot3\right)-\left(6x+6y+6\cdot1\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-6\left(x+y+1\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot3\left(x+y+1\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot\left(3x+3y+3\cdot1\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3-3x-3y-3\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-3-3\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-6\right)-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-2\cdot6-1\)
\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-13\)
\(K=2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]-13\)
Để \(K\) là \(GTNN\) thì \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) phải có \(GTNN;\)
Để \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) là \(GTNN\)( không xét \(x\cdot y\)) thì ta có:
\(-3y+y^2\inℤ\) và phải có \(GTNN\) (1)
\(3x-x^2\inℕ\) và phải có \(GTLN\) (2)
Để thỏa mãn (1) thì \(y\in\left\{1,2\right\}\) (do \(-3\cdot1+1^2=-3\cdot2+2^2\)) và \(x\in\left\{1,2\right\}\) vì lý do tương tự (1).
Nhưng (1) cần càng nhỏ càng tốt và (2) thì ngược lại\(\Rightarrow y=1;x=2\) (chỉ mới là giả thuyết do chưa xét \(x\cdot y\))
Xét với mọi trường hợp:
K trong mọi trường hợp \(x\ne2;y\ne1\)luôn lớn hơn K trong trường hợp \(x=2;y=1\Rightarrow\) chắc chắn \(x=2;y=1\)
Thay \(x\) trong biểu thức của đề bài thành \(1\); \(y\) thành \(2\);giải ra được \(GTNN\) của \(K=\left(-17\right)\)
