Question

Tìm GTNN của sin⁶x+cos⁶x với 0^o<x<90^o

Answer 1

\(sin^6x+cos^6x=\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x\right)\)
\(=sin^4x-cos^2xsin^2x+cos^4x\)\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-3sin^2xcos^2x\)
\(=1-3sin^2xcos^2x\).
Như vậy \(sin^6x+cos^6x\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(3sin^2xcos^2x\) đạt GTLN.
Mà \(3sin^2xcos^2x\le3.\left(\frac{sin^2x+cos^2x}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(sinx=cosx\) hay \(x=45^o\). 
vậy GTNN của \(sin^6x+cos^6x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\) khi \(x=45^o\).