Question

Tìm GTNN của các biểu thức sau: 

1) G= $\frac{x^2}{x-1}$ với x>1

2) H= x+$\frac{1}{x}$ với x$\geq$2

3) K=  $x^{2}$ +$\frac{1}{x}$ với x $\geq$3 

Answer 1

Lời giải:
1. Áp dụng BĐT Cô-si

$G=\frac{x^2}{x-1}=\frac{(x^2-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$

$=(x-1)+\frac{1}{x-1}+2$
$\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{1}{x-1}}+2=2+2=4$ 

Vậy $G_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x-1=\frac{1}{x-1}$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$

 

Answer 2

2.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$H=x+\frac{1}{x}=(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+\frac{3}{4}x$

$\geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+\frac{3}{4}x$
$=1+\frac{3}{4}x\geq 1+\frac{3}{4}.2=\frac{5}{2}$ (do $x\geq 2$)

Vậy $H_{\min}=\frac{5}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=2$
 

Answer 3

3.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$K=x^2+\frac{1}{x}=(\frac{x^2}{54}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x})+\frac{53}{54}x^2$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{54}.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}+\frac{53}{54}x^2$
$=\frac{1}{2}+\frac{53}{54}x^2\geq \frac{1}{2}+\frac{53}{54}.3^2=\frac{28}{3}$ (do $x\geq 3$)

Vậy $K_{\min}=\frac{28}{3}$ khi $x=3$