Question

Tìm GTNN của biểu thức ( tìm cả x ):
G = | x - 2008 | + | x - 8 |

Answer 1

G = |\(x\) - 2008| + |\(x\) - 8| 

Vì |\(x-8\)| = |8 - \(x\)| 

⇒ G = |\(x\) - 2008| + |\(x\) - 8| = |\(x\) - 2008| + |8 - \(x\)|

G = |\(x\) - 2008| + |8-\(x\)| \(\ge\) |\(x-2008\) + 8 - \(x\)| = 2000

Dấu bằng xảy ra ⇔ (\(x\) - 2008).(8 - \(x\)) ≥ 0

Lập bảng ta có:

\(x\)	8                    2008
8 - \(x\)	+      0        -                      -
\(x\) - 2008	-                -              0      +
(\(x\) - 8).(\(x\) - 2008)	-        0        +            0      -

Theo bảng trên ta có: G_min = 2000 ⇔ 8 ≤ \(x\) ≤ 2008

 

Answer 2

Lời giải:
Trước tiên ta cm BĐT sau:

$|a|+|b|\geq |a+b|(*)$

------------------------ 

Thật vậy:

$(|a|+|b|)^2=|a|^2+2|ab|+|b|^2=a^2+2|ab|+b^2\geq a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=|a+b|^2$
$\Rightarrow |a|+|b|\geq |a+b|$ 

Dấu "=" xảy ra khi $2|ab|=2ab$ hay $ab\geq 0$

--------------------

Áp dụng vào bài:

$G=|x-2008|+|x-8|=|x-2008|+|8-x|\geq |x-2008+8-x|=2000$
Vậy $G_{\min}=2000$

Giá trị này đạt được khi $(x-2008)(8-x)\geq 0$

$\Leftrightarrow 8\leq x\leq 2008$