Question

Tìm GTLN của \(P=3xy+3yx+3xz+xyz\) Trong đó nguyên dương thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=3\)

Answer 1

Theo bất đẳng thức AM-GM:3xy=3.x.y.1=3\(\sqrt[3]{x^3.y^3.1}\)\(\le\)x³+y³+1 (1)

Tương tự như vậy:3yz\(\le\)y³+z³+1(2) ;3zx\(\le\)z³+x³+1(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3), ta được:

3xy+3yz+3zx\(\le\)2(x³+y³+z³)+3

Tương đương với P-xyz\(\le\)2.6+3=9

Hay P\(\le\)xyz+9

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM: 3=x³+y³+z³\(\ge\)3xyz

Do đó xyz\(\le\)1

Suy ra P\(\le\)10

Vậy MaxP=10 đạt được khi x=y=z=1