Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{4026}{\sqrt{x-2011}+\sqrt{2013-x}}\)

Answer 1

Đk: \(2011\le x\le2013\).

Với a,b >0 có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

<=> \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

<=> \(0\le a^2-2ab+b^2\)

<=> \(0\le\left(a-b\right)^2\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=>a=b>0

Áp dụng bđt trên có: \(\sqrt{x-2011}+\sqrt{2013-x}\le\sqrt{2\left(x-2011+2013-x\right)}\)

=> \(\frac{4026}{\sqrt{x-2011}+\sqrt{2013-x}}\ge\frac{4026}{\sqrt{2.2}}=2013\)

<=> \(Q\ge2013\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\sqrt{x-2011}=\sqrt{2013-x}\)

<=>x=2012(t/m)

Vậy minQ=2013 <=>x=2012