Question

A = \(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\) với đkxđ : \(x\ge0\); x#1;x#36

B =\(\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\) với đkxđ : \(x\ge0\); x#1;x#36

Đặt T = \(\sqrt{AB}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

Answer 1

\(T=\sqrt{\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\cdot\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-6\right)}{\sqrt{x}-1}}\\ =\sqrt{\dfrac{3\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{\dfrac{3x}{\sqrt{x}-1}}\\ =\sqrt{\dfrac{3\left(x-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{3\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}\\ =\sqrt{3\left(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)+6}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\)

\(\Rightarrow T\ge\sqrt{3\cdot2+6}=2\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=4