Question

Tìm giá trị lớn nhất của : x/(x+2)^2

Answer 1

Đặt \(P=\dfrac{x}{\left(x+2\right)^2}\) ; \(\left(x\ne-2\right)\)

\(P=\dfrac{x}{x^2+4x+4}\)

\(P=\dfrac{1}{x+4+\dfrac{4}{x}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(x+\dfrac{4}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{4}{x}}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{4}{x}\ge2.2=4\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{4+4}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(x=\dfrac{4}{x}\)

                            \(\Leftrightarrow x^2=4\)

                          \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x=-2\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Max_P=\dfrac{1}{8}\) khi \(x=2\)