Question

tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y=x³+x²+(m+2)x

1. có cực đại và cực tiểu

2. có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung

3. có 2 điểm cực trị với hoành độ âm

4. đạt cực tiểu tại x=2

Answer 1

Lời giải:

1.

Để ĐTHS có cực đại và cực tiểu thì \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=1-3(m+2)>0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{3}\)

2.

ĐTHS có hai cực trị nằm về hai phía trục tung nghĩa là PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu.

Theo định lý Viete thì \(x_1x_2=\frac{m+2}{3}<0\Leftrightarrow m<-2\)

3. Áp dụng định lý Viete:

Cực trị với hoành độ âm thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2}{3}<0\\ x_1x_2=\frac{m+2}{3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-2\Rightarrow -2< m<\frac{-5}{3}\)

4. Để ĐTHS có cực tiểu tại $x=2$ thì PT \(y'=3x^2+2x+m+2=0\) nhận $x=2$ là nghiệm \(\Leftrightarrow m=-18\)

Thử lại bằng bảng biến thiên ta thấy đúng.