Question

Tìm dư trg phép chia:

\(a,f\left(x\right)=1+x+x^{99}+x^{199}+x^{2019}\)cho \(1-x^2\)

b,\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+2019\)cho \(x^2+8x+12\)

Answer 1

a,Gọi Đa thức dư là ax+b,thương là Q(x)

Ta có:f(x)=1+x+x¹⁹+x¹⁹⁹+x²⁰¹⁹

              =(1-x²)Q(x)+Q(x)+b

=>1+x+x¹⁹+x¹⁹⁹+x²⁰¹⁹=(1-x)(1+x)Q(x)+ax+b  (1)

Vì (1) đúng với mọi x,thay x=1 và x=-1 ta đc:

1+1+1¹⁹+1¹⁹⁹+1²⁰¹⁹=a+b

<=>a+b=5(*)

Với x=1 ta có:

1+(-1)+(-1)⁹⁹+(-1)¹⁹⁹+(-1)²⁰¹⁹=a(-1)+b

<=>-a+b=-3(**)

Cộng (*) và (**) vế theo vế ta đc:2b=2=>b=1

Thay b=1 vào (*) ta đc:a=4

Vậy đa thức dư là 4x+1

b,Ta có:(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2019

=(x+1)(x+7)(x+5)(x+3)+2019

=(x²+8x+7)(x²+8x+15)+2019 

=(x²+8x+12-5)(x²+8x+12+3)+2019

=(x²+8x+12)²-2(x²+8x+12)-15+2019

=(x²+8x+12)²-2(x²+8x+12)+2004