Câu hỏi của Khiêm Nguyễn Gia

Question

Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn: $x^3+2x^2+3x+2=y^3$

Nguyễn Như Ngọc · Accepted Answer

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$2 x^{2} + 3 x + 2$

$= 2 (x^{2} + \frac{3}{2} x + 1)$

$= 2 (x^{2} + 2 . x . \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{7}{16})$

$= 2 [{(x + \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{16}]$

$= 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Nhận xét:

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} \geq 0$ $\forall$ $x$

$\Rightarrow 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{8} > 0$ $\forall$ $x$

Mà $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2 = y^{3}$

Nên: $x^{3} < y^{3}$

Giả sử: $y^{3} < {(x + 2)}^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2 < x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

$\Leftrightarrow - 4 x^{2} - 9 x - 6 < 0$

$\Leftrightarrow - (4 x^{2} + 9 x + 6) < 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + 9 x + 6 > 0$

$\Leftrightarrow 4 (x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{81}{64}) + \frac{15}{16} > 0$

$\Leftrightarrow 4 (x^{2} + 2 . x . \frac{9}{8} + \frac{81}{64}) + \frac{15}{16} > 0$

$\Leftrightarrow 4 {(x + \frac{9}{8})}^{2} + \frac{15}{16} > 0$ (luôn đúng)

Vậy điều giả sử đúng hay $y^{3} < {(x + 2)}^{3}$

Mà: $x^{3} < y^{3}$

Nên: $x^{3} < y^{3} < {(x + 2)}^{3}$

Mà $y^{3}$ là lập phương của $1$ số nguyên, giữa $x^{3}$ và ${(x + 2)}^{3}$ chỉ có duy nhất $1$ lập phương của số nguyên là ${(x + 1)}^{3}$

Nên: $y^{3} = {(x + 1)}^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2 = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 - x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (1 - x) (1 + x) = 0$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} 1 - x = 0 1 + x = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} x = 1 x = - 1 \end{matrix}$

$+) x = 1$ thì $y^{3} = 1 + 2 + 3 + 2 = 8$

<=> y=2`

$+) x = - 1$ thì $y^{3} = - 1 + 2 - 3 + 2 = 0$

$\Leftrightarrow y = 0$

Vậy $(x, y) = (1, 2); (- 1, 0)$

Nguyễn Đức Trí · Answer

$x^3+2x^2+3x+2=y^3\left(1\right)$ - Nếu $x=0\Leftrightarrow y^3=2$ không tồn tại y nguyên - Nếu $x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\Rightarrow x^2-1\ge0$ $\left(1\right)\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2$ $\Leftrightarrow y^3=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^2-1\right)$ $\Leftrightarrow y^3=\left(x+1\right)^3-\left(x^2-1\right)\le\left(x+1\right)^3\left(2\right)$ Ta lại có $y^3=x^3+2x^2+3x+2=x^3+\left[2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)+2-\dfrac{9}{8}\right]$ $\Rightarrow y^3=x^3+\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]$ mà $\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]>0$ $\Rightarrow y^3< x^3\left(3\right)$ $\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow x^3< y^3\le\left(x+1\right)^3$ $\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3$ $\left(2\right)\Rightarrow x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x=1;x=-1$ Nếu $x=-1\Rightarrow y=0$ Nếu $x=1\Rightarrow y=2$ Vậy $\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;2\right)\right\}$ thỏa mãn đề bàiCâu trả lời: $x^3+2x^2+3x+2=y^3\left(1\right)$ - Nếu $x=0\Leftrightarrow y^3=2$ không tồn tại y nguyên - Nếu $x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\Rightarrow x^2-1\ge0$ $\left(1\right)\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2$ $\Leftrightarrow y^3=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^2-1\right)$ $\Leftrightarrow y^3=\left(x+1\right)^3-\left(x^2-1\right)\le\left(x+1\right)^3\left(2\right)$ Ta lại có $y^3=x^3+2x^2+3x+2=x^3+\left[2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)+2-\dfrac{9}{8}\right]$ $\Rightarrow y^3=x^3+\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]$ mà $\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]>0$ $\Rightarrow y^3< x^3\left(3\right)$ $\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow x^3< y^3\le\left(x+1\right)^3$ $\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3$ $\left(2\right)\Rightarrow x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x=1;x=-1$ Nếu $x=-1\Rightarrow y=0$ Nếu $x=1\Rightarrow y=2$ Vậy $\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;2\right)\right\}$ thỏa mãn đề bài

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)