+) Với x =0 => y = -1 hoặc y =1 . Thay vào thỏa mãn
+) Với x khác 0
Có: \(x^4+x^3+x^2+x+1=y^2\)
<=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2\)
=> \(4y^2=\left(4x^4+4x^3+x^2\right)+\left(3x^2+4x+4\right)>\left(4x^4+4x^3+x^2\right)=\left(2x+x\right)^2\)(1)
( vì \(3x^2+4x+4>0\))
và \(4y^2=\left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)-5x^2< \left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)\)
\(=\left(2x+x+2\right)^2\)(2)
( vì x khác 0 => \(x^2>0\))
tỪ (1) VÀ (2) => \(\left(2x^2+x\right)^2< 4y^2< \left(2x^2+x+2\right)^2\)
=> \(4y^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)
=> \(\left(2x^2+x\right)^2+3x^2+4x+4=\left(2x^2+x\right)^2+2\left(2x^2+x\right)+1\)
<=> \(x^2-2x-3=0\)
<=> x = -1 hoặc x = 3
Với x =-1 => y = -1 hoặc 1 . Thử lại thỏa mãn
Với x = 3 => y = 11 hoặc -11. Thử lại thỏa mãn.
Vậy: phương trình trên có nghiệm ( x; y ) là \(\left(0;\pm1\right);\left(-1;\pm1\right);\left(3;\pm11\right)\)
