Lời giải:
Đặt $7p+1=a^3$ với $a$ là số tự nhiên.
$\Leftrightarrow 7p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$
Đến đây có các TH:
TH1: $a-1=7; a^2+a+1=p$
$\Rightarrow a=8; p=73$ (tm)
TH2: $a-1=p, a^2+a+1=7$
$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$
$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn)
TH3: $a-1=7p; a^2+a+1=1$ (dễ loại)
TH4: $a-1=1; a^2+a+1=7p$ (cũng dễ loại)
Ta thấy :
\(2^3=7.1+1\left(p=1\right)\)
\(4^3=7.9+1\left(p=9\right)\)
\(8^3=7.73+1\left(p=73\right)\)
\(16^3=7.585+1\left(p=585\right)\)
\(32^3=7.4681+1\left(p=4681\right)\)
.....
\(\left(2k\right)^3=7.4681+1\left(p=2k\right)\) (k là số chẵn, k>=1)
\(\Rightarrow p\in\left\{1;9;73;585;4681...\right\}\)
